# Чевианы треугольника

## Чевиана

### Определение

$$AA\_1$$ — чевиана $$\triangle ABC \iff A\_1 \in BC$$.

### Использование

У $$\triangle ABA\_1$$ и $$\triangle ABC$$ общая высота из $$A$$, значит $$\dfrac{S\_{ABA\_1}}{S\_{ABC}}=\dfrac{BA\_1}{BC}$$.

### Теорема Чевы

Если в $$\triangle ABC$$ чевианы $$AA\_1,BB\_1,CC\_1$$ пересекаются в одной точке, то

$$
\large AC\_1\cdot BA\_1\cdot CB\_1 = C\_1B\cdot A\_1C\cdot B\_1A.
$$

***

## Высота

### Определение

$$AH$$ — высота $$\triangle ABC \iff AH\perp BC,\~H\in (BC)$$. 

### Свойства

1. Высоты треугольника или их продолженния пересекаются в одной точке.

***

## Медиана

### Определение

$$AM$$ — медиана $$\triangle ABC \iff M$$ — середина $$BC$$.

### Свойства

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
2. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2 к 1, считая от вершины.
3. Медиана делит треугольник на 2 **равновеликих** треугольника.

## Дополнительное построение

$$M$$ — середина $$AD$$. Тогда $$ABDC$$ — параллелограмм.

***

## Биссектриса

### Определение

$$AL$$ — биссектриса $$\triangle ABC \iff AL$$ — биссектриса $$\angle BAC,\~L\in BC$$.

### Свойства

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
2. $$\dfrac{LB}{AB}=\dfrac{LC}{AC}$$.

### Признак

$$AL$$ — биссектриса $$\triangle ABC \impliedby  \dfrac{LB}{AB}=\dfrac{LC}{AC}$$.


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://andrewmaths.gitbook.io/conspects/geometriya/planimetriya/treugolnik/cheviany-treugolnika.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.