# Теория вероятностей

## Содержание

* [#opredeleniya-i-oboznacheniya](#opredeleniya-i-oboznacheniya "mention")
* [#statisticheskoe-opredelenie](#statisticheskoe-opredelenie "mention")
* [#klassicheskoe-opredelenie](#klassicheskoe-opredelenie "mention")
* [#protivopolozhnoe-sobytie](#protivopolozhnoe-sobytie "mention")
* [#peresechenie-sobytii](#peresechenie-sobytii "mention")
* [#uslovnaya-veroyatnost](#uslovnaya-veroyatnost "mention")
* [#obedinenie-sobytii](#obedinenie-sobytii "mention")
* [#formula-polnoi-veroyatnosti](#formula-polnoi-veroyatnosti "mention")
* [#formula-baiesa](#formula-baiesa "mention")
* [#formula-bernulli](#formula-bernulli "mention")

## Определения и обозначения

### Пространство элементарных событий

$$\Omega$$ — множество всевозможных результатов случайного эксперимента.

{% hint style="info" %}
$$\Omega$$ может быть как конечным, так и бесконечным множеством.
{% endhint %}

### Вероятность

$$P(A)$$ — это число из $$\[0,1]$$, соответствующее событию $$A \subset \Omega$$.

***

## Статистическое определение

$$
\large P(A) \approx \dfrac{m}{n}
$$

Случайный эксперимент $$\Omega$$ повторили $$n$$ раз, в результате чего, событие $$A$$ появилось $$m$$ раз.

Число $$\dfrac{m}{n}$$ — относительная частота события $$A$$.

***

## Классическое определение

Если $$\Omega$$ конечно и результаты эксперимента $$\Omega$$ полагаются равновозможными, то

$$
\large P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}
$$

***

## Геометрическое определение

Если результаты эксперимента $$\Omega$$ полагаются равновозможными, причём $$\Omega$$ — некоторая геометрическая фигура, то

$$
\large P(A)=\dfrac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}
$$

$$\mu$$ — мера множества (в одномерном случае длина, в двумерном площадь, в трёхмерном объём).

## Противоположное событие

$$
\large P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)
$$

***

## Пересечение событий

$$
P(\large A\_1 \cap A\_2 \cap \ldots\cap A\_n)=P(A\_1)\cdot P(A\_2|A\_1)\cdot\ldots\cdot P(A\_n|A\_1\cap A\_2 \cap \ldots\cap A\_{n-1})
$$

### Пересечение двух событий

$$
\large P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)
$$

### Пересечение трёх событий

$$
\large P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B)
$$

***

## Условная вероятность

$$
\large P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}
$$

$$P(A|B)$$ — вероятность события $$A$$ в предположении, что событие $$B$$ произошло.

***

## Объединение событий

### Формула включений и исключений

$$
\large P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
$$

### Разбиение события

Если $${A\_1,A\_2,\ldots,A\_n}$$ — разбиение события $$A$$, то

$$
\large P(A)=P(A\_1)+P(A\_2)+\ldots+P(A\_n)
$$

***

## Формула полной вероятности

Если $${H\_1,H\_2,\ldots,H\_n}$$ — разбиение $$\Omega$$, то

$$
\large P(A)=P(H\_1)\cdot P(A|H\_1)+P(H\_2)\cdot P(A|H\_2)+\ldots+P(H\_n)\cdot P(A|H\_n)
$$

***

## Формула Байеса

$$
\large P(A|B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}
$$

***

## Формула Бернулли

$$
\large P(X=k)=C\_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k}
$$

$$X$$ — количество успехов из $$n$$-кратного повторения случайного эксперимента;

$$p$$ — вероятность успеха в одном эксперименте;

$$q = 1-p$$ — вероятность неудачи в одном эксперименте.


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://andrewmaths.gitbook.io/conspects/algebra/teoriya-veroyatnostei.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.