# Теория множеств

## Содержание

* [#oboznachenie-1](#oboznachenie-1 "mention")
* [#prinadlezhnost-mnozhestvu](#prinadlezhnost-mnozhestvu "mention")
* [#pustoe-mnozhestvo](#pustoe-mnozhestvo "mention")
* [#moshnost-mnozhestva](#moshnost-mnozhestva "mention")
* [#podmnozhestva](#podmnozhestva "mention")
* [#peresechenie-mnozhestv](#peresechenie-mnozhestv "mention")
* [#obedinenie-mnozhestv](#obedinenie-mnozhestv "mention")
* [#razbienie-mnozhestva](#razbienie-mnozhestva "mention")
* [#raznost-mnozhestv](#raznost-mnozhestv "mention")
* [#dopolnenie-mnozhestva](#dopolnenie-mnozhestva "mention")
* [#pryamoe-proizvedenie-mnozhestv](#pryamoe-proizvedenie-mnozhestv "mention")

## Обозначение

$$
\large A={ x\~\vert\~ P(x) }
$$

$$A$$ — множество таких $$x$$, для которых верно утверждение $$P(x)$$.

***

## Принадлежность множеству

Если $$x$$ является элементом множества $$A$$, то

$$
\large x \in A
$$

Если $$x$$ не является элементом множества $$A$$, то

$$
\large x \notin A
$$

***

## Пустое множество

### Обозначение

$$\varnothing$$ — пустое множество.

### Определение

$$\varnothing$$ — множество, не содержащее ни одного элемента.

***

## Мощность множества

### Обозначение

$$|A|$$ — мощность множества $$A$$.

### Неформальное определение

$$|A|$$ — количество элементов множества $$A$$.

***

## Подмножества

### Определение

$$A\subset B$$ — означает, что любой элемент множества $$A$$ принадлежит множеству $$B$$.

### Множество всех подмножеств

#### Обозначение

$$2^A$$ — множество всех подмножеств множества $$A$$.

#### Свойство

$$
\large \left|2^A\right|=2^{|A|}
$$

***

## Пересечение множеств

### Обозначение

$$A\cap B$$ — пересечение множеств $$A$$ и $$B$$.

### Определение

$$A \cap B$$ — множество $${ x\~\vert\~x \in A \land x \in B }$$.

{% hint style="info" %}
Пересекаемых множеств может быть любое количество.
{% endhint %}

### Свойства

1. $$A\cap A=A$$;
2. $$A\cap \varnothing =\varnothing$$;
3. $$A\cap B \cap C=(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$$.

***

## Объединение множеств

### Обозначение

$$A\cup B$$ — объединение множеств $$A$$ и $$B$$.

### Определение

$$A\cup B$$ — множество $${x\~\vert\~ x \in A \vee x\in B}$$.

{% hint style="info" %}
Объединяемых множеств может быть любое количество.
{% endhint %}

### Свойства

1. $$A\cup A=A$$;
2. $$A\cup \varnothing=A$$;
3. $$A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)$$;
4. $$A \cap (B\cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)$$.

### Формула включений и исключений

#### Для двух множеств

$$
\large |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|
$$

#### Для трёх множеств

$$
\large |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+
|A\cap B\cap C|
$$

***

## Разбиение множества

$${A\_1,A\_2,\ldots,A\_n}$$ — разбиение множества $$A$$, если $$A=A\_1\cup A\_2\cup \ldots\cup A\_n$$ и $$A\_i \cap A\_j=\varnothing$$ для всех $$i\ne j$$.

***

## Разность множеств

### Обозначение

$$A \backslash B$$ — разность множеств $$A$$ и $$B$$.

### Определение

$$A \backslash B$$ — множество $${x\~\vert\~ x \in A \land x \notin B}$$.

***

## Дополнение множества

### Обозначение

$$\overline{A}$$ — дополнение множества $$A$$.

### Определение

$$\overline{A}$$ — множество $$X\backslash A$$, где $$X$$ — множество всех элементов рассматриваемого пространства.

### Свойства

1. $$A\cup \overline{A}=X$$;
2. $$A\cap \overline{A}=\varnothing$$;
3. $$\overline{X}=\varnothing;$$
4. $$\overline{\overline{A}}=A$$;
5. $$\overline{A\cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$$;
6. $$\overline{A\cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}$$.

{% hint style="info" %}
Свойства 5 и 6 называются законы де Моргана. В них может быть произвольное количество множеств.
{% endhint %}

***

## Прямое произведение множеств

### Обозначение

$$A\times B$$ — прямое произведение множеств $$A$$ и $$B$$.

### Определение

$$A\times B$$ — множество $${ (x,y)~~\vert~~ x\in A \land y\in B }$$.

{% hint style="info" %}
Множеств в прямом произведении может быть произвольное количество.
{% endhint %}

### Свойство

$$
\large |A\times B|=|A|\cdot |B|
$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://andrewmaths.gitbook.io/conspects/algebra/teoriya-mnozhestv.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.