# Неравенства

## Содержание

* [#opredelenie](#opredelenie "mention")
* [#svoistva](#svoistva "mention")
* [#metod-intervalov](#metod-intervalov "mention")
* [#neravenstvo-funkcii](#neravenstvo-funkcii "mention")
* [#metod-racionalizacii](#metod-racionalizacii "mention")

## Определение

Неравенство — выражение вида $$a\vee b$$, где $$\vee \in {<;>;\leqslant;\geqslant}$$.

## Свойства

1. $$a \vee b \iff a+c \vee b+c$$,  при $$D(a)\cap D(b)=D(a)\cap D(b) \cap D(c)$$.
2. $$a\vee b \iff a \cdot c \vee b \cdot c$$,  при $$c>0,\~D(a)\cap D(b)=D(a)\cap D(b) \cap D(c)$$.
3. $$a\vee b \iff a \cdot c \land b \cdot c$$,  при $$c<0,\~D(a)\cap D(b)=D(a)\cap D(b) \cap D(c)$$.

## Метод интервалов

$$
\large\dfrac{(x-a\_1)(x-a\_2)\ldots (x-a\_n)}
{(x-b\_1)(x-b\_2)\ldots (x-b\_m)}
\vee 0
$$

1. На оси $$Ox$$ отметить выколотыми точки $$a\_i,\~b\_j$$.
2. Если $$\vee\in {\leqslant;\geqslant}$$, то точки $$a\_i \neq b\_j$$ нужно закрасить.
3. Над точками, взятыми из скобок, которые повторяются чётное число раз нужно поставить стрелку вверх.
4. Из правого верхнего угла провести кривую знакопостоянства, которая проходит через точки без стрелок и отражается от точек со стрелками.
5. Там где кривая над $$Ox$$ ставится знак $$+$$, под $$Ox$$ ставится $$-$$.
6. Выписывается совокупность уравнений и/или неравенств, удовлетворяющих знаку $$\vee$$.

## Неравенство функций

1. $$f(a) \vee f(b) \iff \begin{cases} a \vee b \ a,b \in D(f) \end{cases}$$,  при возрастающей $$f$$
2. $$f(a) \vee f(b) \iff \begin{cases} a \land b \ a,b \in D(f) \end{cases}$$,  при убывающей $$f$$

**Матхак**: если $$D(f) = \[c,+\infty)$$ или $$D(f) = (c,+\infty)$$, то $$a,b \in D(f) \iff \min(a,b)\in D(f).$$

## Метод рационализации

1. $$c \cdot (f(a)-f(b))^n \vee 0 \iff  \begin{cases} c \cdot (a-b)^n \vee 0\ a,b \in D(f) \end{cases}$$,  при возрастающей $$f$$
2. $$c \cdot (f(a)-f(b))^n \vee 0 \iff  \begin{cases} c \cdot (b-a)^n \vee 0\ a,b \in D(f) \end{cases}$$,  при убывающей $$f$$


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://andrewmaths.gitbook.io/conspects/algebra/logicheskie-vyrazheniya/neravenstva.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.