# Степень с натуральным показателем

## Обозначение

$$a^n$$ — степень с основанием $$a$$ и показателем $$n$$; $$a$$ в степени $$n$$.

## Определение

$$a^n$$, где $$a\in\R,~~n\in \N$$ — это произведение $$\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}\_{n~~ штук}$$.

{% hint style="success" %}
Любое число можно представить в виде степени с натуральным показателем.
{% endhint %}

## Свойства

В каждом свойстве $$a,b\in\R,\~m,n\in\N$$.

1. $$a^n \cdot a^{m}=a^{n+m}$$
2. $$\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$,  при $$n>m,\~a\ne 0$$
3. $$a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$$
4. $$\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$$,  при $$b\neq 0$$
5. $$(a^n)^m=(a^m)^n=a^{n \cdot m}$$

## Степень с натуральным показателем как функция

$$
f(x) = x^n,\~ n \in \N
$$

* Область определения $$D(f)=\R$$;
* Область значений $$E(f)=\begin{cases} \R &\text{при}  ~~n~~ \text{нечётном}\ \[0;+\infty) &\text{при}~~n~~\text{чётном} \end{cases}$$;
* Непрерывная;
* При нечётном $$n$$ возрастает, при чётном $$n$$ немонотонная.


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://andrewmaths.gitbook.io/conspects/algebra/chislovye-vyrazheniya/stepen/stepen-s-naturalnym-pokazatelem.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.