# Степень с действительным показателем

## Обозначение

$$a^k$$ — степень с основанием $$a$$ и показателем $$k$$; $$a$$ в степени $$k$$.

## Определение

$$a^k$$, где $$a > 0,~~k\in\R$$ — это предел последовательности $$\lim\limits\_{n\to\infty}{a^{k\_n}}$$, где $$k\_n\in\mathbb{Q},~~\lim\limits\_{n\to\infty}{k\_n}=k$$.

{% hint style="warning" %}
Только положительное число можно представить в виде степени с действительным показателем.
{% endhint %}

## Свойства

В каждом свойстве $$a,b > 0;\~p,q\in\mathbb{R};\~n\in\mathbb{N}$$.

1. $$a^p \cdot a^q=a^{p+q}$$
2. $$\dfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$$
3. $$a^p \cdot b^p=(a \cdot b)^p$$
4. $$\dfrac{a^p}{b^p}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^p$$
5. $$(a^p)^q=(a^p)^q=a^{p \cdot q}$$
6. $$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$$
7. $$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt\[n]{a}$$

## Степень с действительным показателем как функция

### Степенная

$$
\large f(x)  = x^k,\~\~ k=const,\~ k\in\R
$$

* Область определения $$D(f)=(0,+\infty)$$;
* Область значений $$E(f)=(0,+\infty)$$;
* Непрерывная;
* Возрастает при $$k>0$$, убывает при $$k<0$$, немнотонная при $$k=0$$.

### Показательная

$$
\large f(x)=c^x,\~\~c=const,\~c>0,\~c\ne 1
$$

* Область определения $$D(f)=\R$$;
* Область значений $$E(f)=  (0;+\infty)$$;
* Непрерывная;
* Возрастает при $$c>1$$, убывает при $$c<1$$.


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://andrewmaths.gitbook.io/conspects/algebra/chislovye-vyrazheniya/stepen/stepen-s-deistvitelnym-pokazatelem.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.