# Полином
## Определение
Полином $$n$$-й степени с одной переменной $$x$$ — это сумма $$a\_0+a\_1x+a\_2x^2+\ldots +a\_nx^n$$, где $$a\_i$$ — фиксированные числа, $$a\_n\ne 0$$, $$x$$ — произвольное число.
## Схема горнера и теорема Безу
$$P(x)=a\_nx^n+a\_{n-1}x^{n-1}+a\_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a\_2x^2+a\_1x+a\_0$$
x
a_n
a_{n-1}
a_{n-2}
\ldots
a_2
a_1
a_0
x_0
a_n
\small x_0\cdot a_n+a_{n-1}\\=b_{n-2}
\small x_0\cdot b_{n-2}+a_{n-2}\\=b_{n-3}
\ldots
b_1
\small x_0\cdot b_1 + a_1\\=b_0
\small x_0\cdot b_1+a_0\\=P_n(x_0)
$$P(x)=(x-x\_0)\cdot \left( a\_n x^{n-1}+b\_{n-2}x^{n-2}+b\_{n-3}x^{n-3}+\ldots +b\_1x+b\_0 \right)+P(x\_0)$$
## Теорема о рациональных корнях
Если $$P(x\_0)=0$$ и $$x\_0 = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$$, то $$a\_0\~\vdots\~p,\~a\_n ~~\vdots~~ q$$.
## Разложение на множители
Преобразование суммы в произведение.
4 стандартных способа и 1 продвинутый.
### Группировка
$$a\cdot b+a\cdot c+d\cdot b+d\cdot c=$$
$$=(a\cdot b+a\cdot c)+(d\cdot b+d\cdot c)=$$
$$=a\cdot (b+ c)+d\cdot (b+c)=$$
$$=(b+c)\cdot (a+d)$$.
### Формулы сокращённого умножения
1. $$(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab+b^2$$
2. $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
3. $$(a \pm b)^3=a^3\pm b^3 \pm 3ab(a\pm b)$$
4. $$(a\pm b)(a^2 \mp ab +b^2)= a^3 \pm b^3$$
### Квадратный полином
$$ax^2+bx+c=a(x-x\_1)(x-x\_2)$$, если $$x\_1,x\_2$$ — корни уравнения $$ax^2+bx+c=0$$.
### Теорема о рациональных корнях + схема Горнера + теорема Безу
Среди делителей $$a\_0$$ и $$a\_n$$ найти числа $$p,q$$ такие, что $$P\left(\frac{p}{q}\right)=0$$.
### Метод неопределённых коэффициентов
Кто знает тот поймёт. Допишу как только будет минутка.
---
# Agent Instructions: Querying This Documentation
If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.
Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:
```
GET https://andrewmaths.gitbook.io/conspects/algebra/chislovye-vyrazheniya/polinom.md?ask=
```
The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.
Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.