# Логарифм

## Обозначения

$$\log\_a{b}$$ — логарифм $$b$$ по основанию $$a$$.

$$\lg{a}$$ — десятичный логарифм $$a$$.

$$\ln{a}$$ — натуральный логарифм $$a$$.

## Определения

$$\log\_a{b}$$, где $$a>0,\~ a\ne 1,\~ b>0$$ — это число $$x$$, для которого верно $$a^x=b$$.

$$\lg{a}$$, где $$a>0$$ — это $$\log\_{10}{a}$$.

$$\ln{a}$$, где $$a>0$$ — это $$\log\_e{a}$$, где $$e$$ — число Эйлера.

{% hint style="success" %}
Любое число может быть записано в виде логарифма с любым допустимым основанием.
{% endhint %}

## Свойства

{% tabs %}
{% tab title="Все" %}
В каждом свойстве $$a,b,c,d>0,\~a\ne1$$.

1. $$b=a^{\log\_a{b}}$$
2. $$\log\_a{a}=1$$
3. $$\log\_a{1} = 0$$
4. $$\log\_{a}{b^c}=c \cdot \log\_a{b}$$
5. $$\log\_{a^c}{b}=\frac{1}{c} \cdot \log\_a{b}$$
6. $$\log\_a{(b \cdot c)}=\log\_a{b}+\log\_a{c}$$
7. $$\log\_a{\left( \dfrac{b}{c} \right)}=\log\_a{b}-\log\_a{c}$$
8. $$\log\_a{b}=\dfrac{\log\_c{b}}{\log\_c{a}}$$,  при $$c\ne 1$$
9. $$b^{\log\_a{c}}=c^{\log\_a{b}}$$
10. $$\log\_a{b} \cdot \log\_c{d}=\log\_a{d} \cdot \log\_{c}{b}$$,  при $$c\neq 1$$
    {% endtab %}

{% tab title="Сворачивающие" %}

1. $$c \cdot \log\_a{b}=\log\_a{b^c}$$;  дописать $$b>0$$ при чётном $$c$$
2. $$\log{a}+\log{b}=\log{(a \cdot b)}$$;  дописать $$a>0$$ либо $$b>0$$
3. $$\log{a}-\log{b}=\log{\left(\dfrac{a}{b}\right)}$$;  дописать $$a>0$$ либо $$b>0$$ 
4. $$\frac{1}{c} \cdot \log\_a{b}=\log\_{a^c}{b}$$;  дописать $$a>0$$ при чётном $$c$$ 
5. $$\log\_a{a}=1$$;  дописать $$a>0,\~a\ne 1$$
6. $$\log\_a{1}=0$$;  дописать $$a>0,\~a\ne 1$$
7. $$a^{\log\_a{b}}=b$$;  дописать $$a>0,\~a\ne 1$$
8. $$\dfrac{\log\_c{a}}{\log\_c{b}}=\log\_b{a}$$;  дописать $$c>0,\~c\ne 1$$
   {% endtab %}

{% tab title="Разворачивающие" %}

1. $$\log\_a{b^c}=c \cdot \log\_a{b}$$; при чётном $$c$$ проверить $$b \geqslant 0$$
2. $$\log{(a \cdot b)}=\log{a}+\log{b}$$;  проверить $$a\geqslant 0$$ либо $$b \geqslant 0$$
3. $$\log{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\log{a}-\log{b}$$;  проверить $$a\geqslant 0$$ либо $$b \geqslant 0$$
4. $$\log\_{a^c}{b} = \frac{1}{c} \cdot \log\_a{b}$$;  при чётном $$c$$ проверить $$a \geqslant 0$$
5. $$1=\log\_a{a}$$;  проверить $$a>0,\~a\ne 1$$
6. $$0=\log\_a{1}$$;  проверить $$a>0,\~a\ne 1$$
7. $$b=a^{\log\_a{b}}$$;  проверить $$b>0,\~a>0,\~a\ne 1$$
8. $$\log\_a{b}=\dfrac{\log\_c{b}}{\log\_c{a}}$$;  проверить $$c>0,\~c\ne 1$$
   {% endtab %}
   {% endtabs %}

## Логарифм как функция

$$
\large f(x)=\log\_c{x},\~c=const,\~c>0,\~c\ne 1
$$

* Область определения $$D(f)=(0;+\infty)$$;
* Область значений $$E(f)=\Reals$$;
* Непрерывная;
* При $$c<1$$ убывает, при $$c>1$$ возрастает.


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://andrewmaths.gitbook.io/conspects/algebra/chislovye-vyrazheniya/logarifm.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.