# Корень чётной степени

## Обозначения

* $$\sqrt{a}$$ — квадратный корень из $$a$$.
* $$\sqrt\[n]{a}$$ — корень $$n$$-й степени из $$a$$.

## Определения

* $$\sqrt{a}$$, где $$a \geqslant 0$$ — это число $$x \geqslant 0$$, для которого верно $$x^2=a$$.
* $$\sqrt\[n]{a}$$, где $$n\in\N,~~n~~\vdots \~2,\~a\geqslant 0$$ — это число $$x \geqslant 0$$, для которого верно $$x^n=a$$.

{% hint style="warning" %}
Только неотрицательное число может быть представлено в виде корня чётной степени.
{% endhint %}

## Свойства

{% tabs %}
{% tab title="Все" %}
В каждом свойстве $$a,b \geqslant 0,~~n~~\vdots\~2,\~m\in\N,\~m>1$$.

1. $$\sqrt\[n]{a} \cdot \sqrt\[n]{b}=\sqrt\[n]{a\cdot b}$$
2. $$\dfrac{\sqrt\[n]{a}}{\sqrt\[n]{b}}=\sqrt\[n]{\dfrac{a}{b}}$$
3. $$\sqrt\[m]{\sqrt\[n]{a}}=\sqrt\[m \cdot n]{a}$$
4. $$\left( \sqrt\[n]{a} \right)^n=a$$
5. $$\sqrt\[n]{a^n}=|a|$$
   {% endtab %}

{% tab title="Сворачивающие" %}

1. $$\sqrt\[n]{a} \cdot \sqrt\[n]{b}=\sqrt\[n]{a\cdot b}$$,   дописать $$\begin{cases} \text{ничего} &\text{если} \~a>0 \text{ либо } b>0 \ a,b\geqslant 0 &\text{иначе} \end{cases}$$
2. $$\dfrac{\sqrt\[n]{a}}{\sqrt\[n]{b}}=\sqrt\[n]{\dfrac{a}{b}}$$,  дописать $$\begin{cases} \text{ничего} &\text{если} \~a>0 \text{ либо } b\geqslant 0 \ a,b\geqslant 0 &\text{иначе} \end{cases}$$
3. $$f(x) = x \* e^{2 pi i \xi x}$$$$\left( \sqrt\[n]{a} \right)^n=a$$,  дописать $$a \geqslant 0$$
   {% endtab %}

{% tab title="Разворачивающие" %}

1. $$\sqrt\[n]{a\cdot b}=\sqrt\[n]{a} \cdot \sqrt\[n]{b}$$,  проверить $$a>0$$ либо $$b>0$$, либо $$a,b \geqslant 0$$
2. $$\sqrt\[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt\[n]{a}}{\sqrt\[n]{b}}$$,  проверить $$a>0$$ либо $$b \geqslant 0$$, либо $$a,b \geqslant 0$$
3. $$a=\left(\sqrt\[n]{a}\right)^n$$,  проверить $$a \geqslant 0$$
   {% endtab %}
   {% endtabs %}

## Корень чётной степени как функция

$$
\large f(x)=\sqrt\[n]{x},\~n=const,\~n\in\N,~~n~~\vdots \~2
$$

* Область определения $$D(f)=\[0;+\infty)$$.
* Область значений $$E(f)=\[0;+\infty)$$.
* Непрерывная;
* Возрастает.


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://andrewmaths.gitbook.io/conspects/algebra/chislovye-vyrazheniya/koren/koren-chyotnoi-stepeni.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.